最近，邻居家小孩报了个小提琴班，在家练习的时候，经常会传来一阵阵的锯木头声，有时甚至像尖叫鸡的声音。我家小孩今年也刚开始学古筝，虽然有时候跟不上旋律，但似乎声音本身并不难听。为什么同样是初学者，会有这么明显的区别呢？难道是我对自家娃有滤镜吗？
01、是噪音还是动人的声音？关键看泛音
大家应该都知道，声音来自于物体的振动。比如下图中的音叉，只有让它振动才能发出声音。音叉的振动会带动附近空气的振动，从而在空气中扩散开来，当扩散到人耳时就被听到了。这就像在平静的水面扔了一颗石头，然后水的波纹往外扩散开来一样。
音叉的振动图源：摄图网
所以，声音可以用波来表示，声波振动幅度的大小和振动的快慢决定了不同的声音。振幅（A0）越大，代表着声音响度越高，也就是声音越大。周期（T）越短，表示振动越快，频率越高，所以音调就越高，声音就越尖。
声波图源：作者供图
理想的声波，用音调和响度就可以完全表征。然而，现实中的声音要复杂得多，可以看成是无数个简单声波叠加而成的。在这些叠加的声音里，有一类特殊的声音，它们能让人赏心悦目，这就是乐音。
复杂声波由简单声波叠加而成图源：博客
乐音同样有音调和响度，但它还有第三个特征：音色，主要由泛音决定。乐音并非只有一种频率，它同样是多种频率的叠加。与普通声音不同，乐音叠加的频率有一定的规律：是基频（波动或振动的最低频率）的整数倍[1]，也就是满足毕达哥拉斯规律[2]。而除基频外，叠加频率的声音都是泛音。
泛音图源：sohu
我们可以轻易分辨出不同人讲话，分辨出不同乐器的发音，靠的就是泛音的不同。同一个旋律，不同乐器组合发声，不同的泛音会让这段旋律更加丰富。
02、为什么初学者可以让古筝发出美妙声音？
对于一根给定的琴弦，存在着无数种不同的振动形式，每一种都对应了一个固有频率[3]。最低的那个频率对应的就是基频，其余都是泛音。这里的固有频率都是自由振动下的频率，即外力拨动琴弦之后迅速消失，琴弦在这个外力的作用下产生振动，这种固有频率下的振动发音就是拨弦。当琴弦的材质（密度）、尺寸（弦长与粗细）、张力确定后，这根琴弦的基频也就确定了。因此，不管你会不会弹古筝，拨动琴弦后，琴弦的发音都是一样的，听起来都很美妙。
古筝弹久后，需要重新调音，使琴弦变得紧绷，也就是改变了琴弦的张力，从而改变固有频率图源：作者供图
值得一提的是，不同乐器的琴弦，弹奏同一首旋律，其基频必定是相同的。尽管不同乐器的琴弦有长有短、有粗有细、有尼龙有金属丝，但是通过基频公式，总可以设计出同一个基频。唯一的区别就在于之前说的音色，不同的泛音叠加后听起来就不一样了（有的叠加得多，有的叠加得少）。
03、为什么初学者拉小提琴会跟锯木头一样？
拉弦作用下的琴弦振动与拨弦作用下的琴弦振动完全不同。拉弦作用下的琴弦振动是在拉弓的持续作用下产生的受迫振动（外力持续作用下的振动）。更加严格地说，拉弦下的琴弦振动是一种自激振动。琴弦从拉弓处获得能量，在接触位置产生交变力，从而产生振动，这种振动根源来自琴弦自身，所以是自激振动。大家洗碗的时候也能感受到这种振动——洁净湿润的指腹摩擦过碗沿，能够感受到指腹传来的振动，这有点类似于古代的黑魔法——鱼洗盆。
鱼洗盆的自激振动图源：sohu
外力作用于琴弦方式的不同，也会引起了琴弦振动形态的不同。拨弦的自由振动，琴弦呈现出标准正弦波的形态。
拨弦的自由振动是正弦波图源：SOOGIF
而拉弓锯弦引起的琴弦振动却呈现出不规则的形态，并且能够明显看出波的传递——从拉弓位置向远端传递。
拉弦的自激振动是V波图源：大美科学
这种特殊的波形，最早是亥姆霍兹发现的[4]。拉弓过程中，琴弦接触点被弓打动产生位移，这种位移随时间呈现锯齿状，于是振动产生了。整根琴弦，在这个起始位移振动的带领下，振动起来，并且向远端扩散出去。
亥姆霍兹运动图源：参考文献[4]
为何会形成上图这种特殊的V形波呢？其实，也很容易理解。拉弓锯弦的时候，琴弦由于弓的作用在持续高频振动。波是会扩散的，在接触位置初始就是一个V（被弓拉出来的形状），所以这个波往外扩散时，仍然基本保持着初始姿势。但随着扩散的进行，在远端时，V形的尖角其实已经不那么尖了。
V波的传递图源：中科院物理所
初始时刻，弓向上运动（如下图），在摩擦力的作用下带动琴弦运动。刚开始时，琴弦位移较小，产生的回弹力也小，不足以抵抗摩擦力，此时两者之间是静摩擦。随着位移的增大，回弹力变大，把琴弦往回拉动，此时两者产生滑动，是滑动摩擦。静摩擦与动摩擦的摩擦系数是不同的，拉弓锯弦的过程是动静摩擦不断相互变化的过程，这是个典型的摩擦力突变的非线性过程。
动静摩擦相互转化图源：作者供图
同一根弦，对于拉弦来说，优美的声音与弓的速度、弓的下压力，以及拉弓的位置密切相关。研究表明[4]：弓速增加，声音会变大；弓压增加，声音也会变大；距离琴码增加，声音略微减小。一个熟练的小提琴家，完全掌握这3个参数的运用及变化，才能创造美妙的音乐。但是，对于初学者来说，很难根据旋律的变化控制这3个参数的变化。单从音量来说，很可能因为太着急、太用力，就比较大了。
另外，琴弦的基频与张力密切相关，用力过猛增加了琴弦的张力，提升了基频，再叠加上其它频率的不规则泛音，简直就会像尖叫鸡一样。所以，想要学好小提琴，除了长时间练习，抽空还得学学力学，知道其中的原理，可以更加熟练地拉弓锯弦。
参考文献
[1] Young, Freedman, University Physics with Modern Physics, 14th edition, Pearson, 2016.
[2] 刘延柱, 漫画音乐中的力学, 力学与实践, 2011, 33(3): 91-94.
[3] 王一鸣等, 琴弦在点驱动力作用下受迫振动的研究, 大学物理, 2022, 41(5): 9-12, 62.
[4] 张承忠等, 小提琴弓弦系统的振动形态及振动机理研究, 振动工程学报, 2025, 28(3): 359-365.
作者：王永健，南京农业大学副教授，江苏省力学学会科普工作委员会副秘书长，江苏省首席科技传播专家
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